证明:(a^n+b^n)/2>=[(a+b/2)]^n

a>0,b>0是前提条件么？
如果是。
那么采用数学归纳法。
第一步，当n=1时，不等式显然成立。
第二步，假设n=k时，不等式成立。即有(a^k+b^k)/2>=[(a+b/2)]^k
那么，两边同时乘以（a+b/2),可得
（a+b/2)(a^k+b^k)/2>=（[(a+b/2)]^（k+1）
左边=[a^(k+1)+ab^k+a^kb/2+b^(k+1)/2]/2
>=[a^(k+1)+b^(k+1)]/2
即n=k+1时成立。
第三步，由一和二可知，n=1时成立，则n=2时成立，则n=3时成立……类推，对任意n不等式都成立。

琴生不等式一步搞定